解き方(2/2)

#もはや続きを読む人はいないかもなあ。。
#まあ、覚書なのでいいか。

さて、連続する数字の個数が偶数の場合についても考えなければなりません。

連続する数字が偶数というのは、5,6,7,8だと4個、100,101,102,103,104,105だと6個、といったような事です。

これらの数字というのは、奇数の時とは異なり、「真ん中の数字」というのがありません。なので、数字の「真ん中のペア」を見ていくことにします。
上の例でいけば、

5,6,7,8 → 6,7が真ん中のペア
100,101,102,103,104,105 → 102,103が真ん中のペア

というようにです。この「真ん中のペア」をA,A+1というように書くとすると、一般的には

(A-n)・・・(A-2),(A-1),A,(A+1),(A+2)・・・(A+n+1)

というふうにあらわされます。nは自然数です。これらの合計が1000になるということは

(A-n)+・・・+(A-1)+A,(A+1)+・・・+(A+n+1)=1000

となります。

ところでさっきの数字列の例で、6,7のペアの合計は、そこからプラスマイナス1した5,8のペアの合計と等しくなります。
もうひとつの組み合わせで見てみると、

102+103= 102 +(102+1)=205
101+104=(102-1)+(102+2)=205
100+105=(102-2)+(102+3)=205

となります。

つまり、一般的に表した等式をペア同士にまとめなおしてやると、

{A+(A+1)}+{(A-1)+(A+2)}+{(A-2)+(A+3)}+・・・＋{(A-n)+(A+n+1)}=1000

これは

(2A+1)+(2A+1)+・・(2A+1)=1000

ということになります。

偶数の場合は、連続する数字が奇数の場合とは違い、（2A+1）の倍数を見てやることになります。

この式が何を意味するか。1000で割り切れた結果が奇数になっていなければならないということです。

では順番に計算していくと、

倍数が1 2A+1=1000（意味ない）
倍数が2 2A+1=500（偶数なのであてはまらず）
倍数が3 （割り切れない）
倍数が4 2A+1=250（偶数なのであてはまらず）
・
・
倍数が8 2A+1=125
・
・
倍数が40 2A+1=25
・
・

とこのような結果になります。1000を割った結果が奇数になったのは、上の結果では倍数が8,40のときでした。

では倍数が8のとき、2A+1=125です。これは何を意味するか。左の式を解いたらA=62ですので、62,63のペアの両端にプラスマイナス3ずつ連続した数字をくっつければよいということです。

59,60,61,62,63,64,65,66

おおおおおっ！たしたら1000ではないか！

次に倍数が40のとき、2A+1が25です。これは、A=12ですので、12,13のペアの両端にプラスマイナス39個連続した数字をくっつけるということになります。しかし12の下に39個くっつけることはできないのでこのパターンは成立しないことになります。

よって、連続する数字が偶数のときには、

59,60,61,62,63,64,65,66

の1通りだけが存在することがわかりました。

以上から、答えは

198,199,200,201,202
28,29,30,31,・・・,49,50,51,52
59,60,61,62,63,64,65,66

の3通りです。(Q.E.D.)

久々にこの”Q.E.D.”を書いてみたかったんですねえｗ

#日々感謝 m(_ _)m